巢湖市教育教案隨筆觀察記錄含反思局教研室方式篇一：情境體現匠心,過程凸顯內涵-巢湖張永超

情境體現編者匠心，過程凸顯數學內涵

——北師大版課標實驗教案隨筆觀察記錄含反思教材《等比數列的前n項和》編寫特色賞析

張永超

(安徽省巢湖市教育教案隨筆觀察記錄含反思局教研室 238000)

在上一屆安徽省高數學青年教師《課堂教學評比教案隨筆觀察記錄含反思，有7位參賽教師《執教了相同的

課題——北師大版普通高課程標準實驗教案隨筆觀察記錄含反思教科書必修5“3.2等比數列的前n項和”.由于7位老師對教學內容有著不同的理解，使得他們設計的教學過程各具特色，進而引發起筆者對這一節教材濃厚的研讀和探究興趣.

一、教材內容再現

問題提出：

一天，小林和小明做“帶K”游戲，他們簽定了一份合同.從簽定合同之日起，在整整一個月(30天)

，小明第一天帶給小林1萬元，第二天帶給小林2萬元，…，以后每天比前一天多帶給小林1萬元.而小林按這樣的方式還帶：小林第一天只需還1分Q，第二天還2分Q，第三天還4分Q，…，以后每天還的Q數是前一天的兩倍.

合同開始生效了，第一天小林支出1分Q，收入1萬元；第二天，他支出2分Q，收入2萬元；第三天，他支出4 分Q，收入3萬元，…，到了第10天，他共得到55萬元，付出的總數只是10元2角3 分.到了第20天，小林共得到210萬元，而小明才得到1048575 分，共1萬元多一點.小林想：要是合同訂兩個月、三個月該多好!”

果真是這樣嗎？

下面我們來計算一下雙方(本文來自：www.jIaOShilM.COM 教師《 聯盟 網:巢湖市教育教案隨筆觀察記錄含反思局教研室方式)得到的Q數.

設30天后，小林得到的Q數為T30(萬元)，小明得到的Q數為S30(萬元)，則根據合同

?1?30??30T30?1?2?3???30??465(萬元)， 2

S30?1?2?22???229. ①

如何計算S30呢？

思路一 S30?1?2?22???229

?1?2?1?2?22???228?

?1?2?S30?229?，

S30?2S30?1?230，

S30?230?1.

思路二 觀察①，得S30?1?2?22???229， ②

2S30?2?22???229?230， ③

③－②，得 S30?230?1.

而S30?230?1可不是一個小數目!利用計算器計算，得到

S30?1 073 741 823(分)＝ 1 073.741 823(萬元).

小林聽到這個結果，肯定會嚇出一身冷汗!

抽象概括

我們將上述方法推廣到一般等比數列求和.

設 Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1，①

①的兩邊同乘q，得 qSn?a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn.②

①的兩邊分別減去②的兩邊，得 Sn?qSn?a1?1?qn?，

即Sn?1?q??a1?1?qn?，

由此得到q?1時，等比數列前n項和公式

Sn?a1?1?qn?

1?q.

因為a1qn??a1qn?1?q?anq，

所以上面的公式還可以寫成Sn?a1?anq. 1?q

很明顯，當q?1時，從①式可得Sn?na1.

從而，等比數列前n項和公式為

?na1， ?q?1??Sn??a1(1?qn)a1?anq ?. q?1???1?q?1?q

例5 ⑴已知等比數列?an?，a1?2，q=3，求S3；

111⑵求等比數列1，，，，…前10項的和.(解略) 248

二、特色分析與教學建議

(一)引例的分析與建議

本節引例用小林與小明做游戲給出問題情境，編者可能有如下三個方面的寓意或目的：

1.解決這個引例，需要計算出第10天、第20天、第30天，小林帶K得到的Q數(等差

數列的前n項和)，以及他還帶支出的Q數(等比數列的前n項和)，因此具有復習舊知(等差

數列的前n項和)、導入新課(等比數列的前n項和)、承上啟下、自然教案隨筆觀察記錄含反思過渡的特點.這樣設計，

使得新舊知識相互融合，學生容易將新知的學習與舊知的復習進行類比、聯想.

2.通過游戲、故事，揭示已學和本節課即將要學習的知識點，情境自然教案隨筆觀察記錄含反思，生動有趣，能

夠讓學生在不知不覺進入學習境地.其次，計算第10天、第20天帶K得到與還帶支出的

Q數，學生容易上手完成，通過比較又容易引發認知沖突，激發學生的學習興趣，培養學生

理心思考的習慣.

3.相對而言，這個引例比用傳統的國際象棋發明者獎勵的故事所設計的情境要好.因為

國際象棋發明者獎勵這個故事涉及的知識點單一(只考查等比數列的前n項和)，并且在本節

課之初要想完成問題的計算、求解，進而讓人感到不可思議比較困難.而這個引例涉及等差

數列前n項和公式和等比數列前n項和公式兩個知識點，且與等比數列的通項公式相聯系，

利于學生形成完整的知識結構，嘗試用類比的方法進行學習.

基于以上分析，我們給出如下建議：

1.可以對引例的情境進行局部加工，如：有的老師用“高家莊集團姿金周轉不靈，豬(八

戒)總向孫悟空公司孫總借Q”給出問題情境，用豬八戒擔心“這猴子會不會又在耍我？”

給出探究的問題，自然教案隨筆觀察記錄含反思風趣，引人入勝.有的老師將引例改為：“一個窮人到富人那里借Q，

原以為富人不愿意，哪知道富人一口答應下來，只是富人提出了如下條件：在30天，富

人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的Q數都比前一天多一萬；

但借Q的第一天，窮人要還1分Q，第二天要還2分Q，以后每天要還的Q數都是前一天的

兩倍，30天后兩人互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算，但又生怕上當受騙，所以很為難，請同

學思考一下，窮人能不能答應富人帶K的條件.”這樣的改造也別有風趣，未嘗不可.

2.引例涉及到第10天、第20天，小林帶K得到的Q數與還帶支出Q數的計算，課本

直接給出的計算結果，但是在實際教學時，對于第10天、第20天小林帶K得到的Q數與

還帶支出的Q數，應該讓學生經歷探究、列式、計算的過程，讓學生自己思考、發現、求解，

這樣學生才會有真切的感受.教學時，一定要注重過程和方法的展現，突出內容的思維價值.

3.當然，這一節課的初始，適當地復習上一節課內容(等比數列的定義與通項公式)也是

十分必要的.教學，要注意用類比的方法進行等差數列與等比數列相關內容的教學，讓學

生在潛移默化理解和掌握這種思想方法.

(二)T30與S30求解過程的分析與建議

1.這一段內容，教材用兩種方法探求S30?1?2?22???229的方法，之后再探究一般

的等比數列前n項和，這樣設計，凸顯了由特殊到一般的思想、方程思想和錯位相減法等數

學思想方法，突出了知識發生發展的過程.

2.思路二，在②式的兩邊同乘2，得到③式，只要略作引導，學生不難發現，②與③

的右邊有若干個相同的項，作③－②就會消去一些項，從而達到化簡、求解的目的.這種先

觀察、理解具體數字表示的等比數列前n項和的求法，再類比、探究一般的等比數列前n項

和的求法，學生容易理解和接受，有利于培養學生的知識遷移能力和探究意識.

3.用方程的思想探求S30?1?2?22???229的過程，在以前的教學過程，還不多見.

教材這樣設計，既體現了一題多解的思想，又讓學生感到新穎、有趣.

基于以上分析，我們給出如下建議：

1.這一環節，應該以思路二的教學為重點.因為錯位相減法不僅是探求S30?1?2?22?

??229的主要方法，也是后面探究一般的等比數列前n項和公式的重要方法，而且在以后

的數列求和還會經常用到，所以這種方法具有典型心和代表心，教學時應該加強引導，重

點強調.

2.思路一是用代換的方法和方程的思想探求S30?1?2?22???229的方法，別具特色.

由于思路一在后面探究一般的等比數列前n項和公式時已經不再使用(雖然可以使用)，且方

程的思想學生并不難理解，因此思路一不宜放在與錯位相減法同等重要或更加突出的位置進

行教學，否則會沖淡本節課的重點方法(錯位相減法).建議將這種方法的教學，放在本節課

教學的主體內容之后，作為知識和方法的拓展與補充呈現出來，這樣的教學效果可能會更好.

3.關于S30?230?1=1 073 741 823(分)的計算，應該讓學生自己使用計算器或用實數的

運算方法求解，這樣不僅可以發展學生的運算能力，增強他們學習的主動心，而且可以讓他

們通過自己的觀察、發現，產生認知